Geometri Hiperbolik : Segiempat Saccheri
12.27
Geometri Hiperbolik : Segiempat
Saccheri
Kali ini kita akan lebih mengenal alah satu konsep dalam geometri hiperbolik yaitu segiempat Saccheri. Boleh dibilang konsep ini adalah salah satu konsep yang mempelopori adanya geometri non-Euclid. Sepertinya postulat ke-5 dari Euclid menjadi dasar dari fenomena ini. Bahkan para ahli geometri terdahulu lebih menganggap postulat ini sebagai teorema daripada aksioma, bagaimana menurut anda?
Gambar A. Segiempat
Saccheri
Disebut segiempat Saccheri karena
untuk menghormati sumbangsih Gerolamo Saccheri yang telah tercatat hampir
menemukan geometri non-Euclid.
Segiempat
Saccheri adalah sebuah segiempat ABCD dengan dua sudut siku-siku berdekatan
yaitu pada A dan B, dengan sisi AD≃DC. Sisi AB disebut sisi alas dan sisi DC
disebut sisi atas.
Nanti akan kita temukan
bahwa aksioma hiperbolik mengakibatkan sudut C dan D pada Gambar A bukan sudut
siku-siku seperti apa yang berlaku pada geometri Euclid. Uniknya pada segiempat Saccheri ini memiliki teorema-teorema yang berlaku baik pada geometri Euclid maupun hiperbolik. Hal ini mungkin karena dalam pembuktiannya, teorema-teorema itu menggunakan empat postulat pertama Euclid dan konsep geometri hiperbolik. Tapi Wallahualam sih, mungkin banyak dari anda semua lebih memahami perihal segiempat Saccheri ini. Lets Begin ...
Teorema 41h
Garis
yang menghubungkan titik tengah dari sisi alas dan sisi atas dari segiempat
Saccheri adalah tegak lurus terhadap sisi alas maupun atas.
Bukti
Perhatikan ∆AED dan ∆BED
mAD=mBC [def. Segiempat Saccheri]
m∠CBE=m∠DAE [def. Segiempat Saccheri]
mBE ≃ mAE [diketahui]
∆AED ≃ ∆BED berd. s.sd.s.. Dengan demikian, mDE=mCE dan m m∠CEB=m∠DEA ...(1)
Perhatikan ∆DFE dan ∆CFE
mDF=mCF [diketahui]
mFE=mFE [refleksif]
mDE=mCE [(1)]
∆DFE ≃ ∆CFE berd s.s.s.. Dengan demikian m∠CFE=m∠DFE sedangkan
m∠CEB + m∠DEA = 180° maka m∠CEB = m∠DEA = 90°.
Dengan kalimat lain EF⊥DC di F. ...(2)
∆DFE ≃ ∆CFE juga mengakibatkan m∠CEF=m∠DEF ...(3)
Selanjutnya
m∠AEF = m∠DEA + m∠DEF
m∠BEF = m∠CEB + m∠CEF = m∠DEA + m∠DEF [(1) dan (3)]
dengan demikian m∠AEF = m∠BEF. Sedangkan
m∠AEF + m∠BEF = 180° maka m∠AEF = m∠BEF = 90°.
Dengan kalimat lain EF⊥AB di E.
∴Teorema 41h terbukti
Akibat
Sisi
alas dan sisi atas dari segiempat Saccheri adalah ultraparallel
Teorema 42h
Sudut-sudut
puncak dari segiempat Saccheri adalah (1) kongruen dan (2) lancip
Teorema 43h
Jumlah dari sudut –sudut segitiga
adalah kurang dari 180°
Bukti
Asumsikan ∆ABC adalah sebuah segitiga sembarang dengan alas BC.
Misalkan D dan E secara berurutan adalah titik tengah dari sisi AB dan AC. Dan misalkan
BF, AG, dan CH tegak lurus dengan DE dari A, B, dan C. Maka ada 3 kasus yang
dapat terjadi,
Kasus 1 :
Gambar B. Kasus 1
Karena
Segmen BD ≃ segmen AD [diketahui]
∠BDF≃∠ADG [bertolakbelakang]
∠BFD≃∠AGD [diketahui]
Oleh karenanya ∠FBD≃∠GAD
Akibatnya ∆BDF≃∆ADG [sd.s.sd.]
Segmen BF ≃ segmen AD. Dengan langkah yang serupa pada ∆HCE dan ∆GAE akan diperoleh ∆HCE≃∆GAE dan segmen AG ≃ segmen CH. Oleh karenanya, segmen BF ≃ segmen CH, maka dapat kita identifikasi bahwa segiempat BFHC adalah segiempat saccheri (betul kan?). Maka dari teorema 42h, ∠FBC≃∠HCB dan keduanya sudut lancip, maka jumlah sudutnya kurang dari 180°.
Dan perhatikan
m∠FBC + m∠HCB = m∠FBD + m∠DBC + m∠HCE + m∠ECB = m∠GAB + m∠ABC + m∠GAE + m∠ACB
= m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB [m∠GAB + m∠GAE = m∠BAC]
Hal itu memberi arti bahwa jumlah sudut dari ∆ABC kurang dari 180°
Kasus
2:
Gambar C. Kasus 2
Karena
Segmen BD ≃ segmen AG [diketahui]
∠BDF≃∠ADG [bertolakbelakang]
∠BFD≃∠AGD [diketahui]
Oleh karenanya ∠FBD≃∠GAD
Akibatnya ∆BDF≃∆ADG [sd.s.sd.]
Dengan demikian Segmen BF ≃ segmen AG. Dengan langkah serupa antara ∆CEH dan ∆AEG akan diperoleh Segmen CH ≃ segmen AG. Akibatnya Segmen BF ≃ segmen CH, dapat kita identifikasi segiempat BFHC adalah segiempat Saccheri. Berdasar pada teorema 42h, ∠FBC≃∠HCB dan keduanya sudut lancip, maka jumlah sudutnya kurang dari 180°. Dan perhatikan,
m∠FBC + m∠HCB = m∠FBC + m∠HCE + m∠ECB
= m∠FBC + m∠EAG + m∠ECB [∆CEH≃∆AEG]
= m∠FBC + m∠CAD + m∠DAG + m∠ACB [m∠ECB = m∠ACB]
= m∠FBC + m∠CAB + m∠DBF + m∠ACB [m∠DBF = m∠ABC]
= m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB [m∠FBC + m∠DBF = m∠ABC]
Hal itu memberi arti bahwa jumlah sudut dari ∆ABC kurang dari 180°
Kasus
3:
Karena
Segmen CE ≃ segmen AE [diketahui]
∠CHE≃∠ADE [diketahui]
Oleh karenanya ∠EAD≃∠HCE
Akibatnya ∆AED≃∆CEH [sd.s.sd.]
Dengan demikian Segmen CH ≃ segmen AD. Sedangkan kesimpulan segmen BD ≃ segmen AD terdapat dalam pemisalan, dapat kita identifikasi segiempat BDHC adalah segiempat Saccheri. Berdasar pada teorema 42h, ∠DBC≃∠HCB dan keduanya sudut lancip, maka jumlah sudutnya kurang dari 180°. Dan perhatikan,
m∠DBC + m∠HCB = m∠DBC + m∠HCE + m∠ECB
= m∠DBC + m∠EAD + m∠ECB [∆CEH≃∆AED]
= m∠ABC + m∠CAB + m∠ACB [m∠DBC = m∠ABC]
[m∠EAD = m∠CAB]
[m∠ECB = m∠ACB]
Hal itu memberi arti bahwa jumlah sudut dari ∆ABC kurang dari 180°
∴ Karena teorema terbukti pada semua kasus yang mungkin terjadi maka Teorema 43h terbukti.
Referensi
A Course in Modern Geometries, 2nd Edition, Judith N. Cedeberg
Roads to Geometry, 2nd Edition, Edward C. Wallace, Stepben F. West
Modern Geometry, David A. Thomas 
1 komentar
hohohoho
BalasHapus