Model Poincare : Titik Part. 1
10.54
Titik, Garis, dan Bidang
dalam Ruang Hiperbolik (Poincare’s Model)
Geometri Hiperbolik: Titik
Titik
dalam model bidang hiperbolik yang diajukan Poincare adalah titik yang berada
di dalam lingkaran satuan, lingkaran satuan ini disebut juga piringan Poincare.
Gambar A. Titik pada Bidang Hiperbolik dan Titik Ω
Titik C dan D adalah titik
dari bidang hiperbolik. Sedangkan titik A dan B adalah bukan titik dari bidang
hiperbolik (lihat Gambar A). Titik A dan B dianggap sebagai titik pada
ketidakberhinggaan atau vanishing point. Secara umum titik pada
ketidakberhinggaan ini disebut titik omega (Ω).
Gambar B. Segitiga yang dibentuk oleh Titik Ω A, B, dan C
Definisi
Diberikan
sebuah lingkaran satuan Σ pada bidang Euclid, titik dari bidang hiperbolik
adalah titik interior dari Σ.
Definisi
Diberikan
sebuah lingkaran
dalam bidang Euclid, titik omega (Ω) dari
bidang hiperbolik adalah titik yang berada pada Σ.
Definisi
Diberikan
sebuah lingkaran satuan dalam bidang Euclid, garis dari bidang hiperbolik
adalah ditarik busur lingkaran yang tegak lurus pada Σ dan berada pada interior Σ.
Berikut
adalah metode dalam men-sketsa dan/atau meng-konstruk titik yang sesuai dengan
aturan pada bidang hiperbolik. Gambar C menggambarakan dua lingkaran yang
saling tegak lurus dengan titik pusat
dan
dan titik perpotongan
dan
.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1.
Lukis lingkaran
dan sinar PA.
2.
Buat sebuah
garis yang tegak lurus dengan sinar PA pada titik A
3.
Pilih sembarang
titik Q pada garis tegak lurus tersebut (langkah 2.) sebagai pusat lingkaran
kedua.
4.
Gunakan QA
sebagai jari-jari lingkaran kedua.
5.
Buat lingkaran
kedua dan tandai titik perpotongan antara kedua lingkaran (selain titik A) sebagai
titik
.
Gambar C. Lingkaran
yang Saling Tegak Lurus
Referensi
A Course in Modern Geometries, 2nd Edition, Judith N. Cedeberg
Roads to Geometry, 2nd Edition, Edward C. Wallace, Stepben F. West
Modern Geometry, David A. Thomas
0 komentar