LATIHAN KE-1
1. Jika x dan y bilangan bulat yang memenuhi
y2 + 3x2y2
= 30x2 + 517,
Hitunglah nilai dari 3x2y2 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Pembahasan
Karena
maka
sedangkan
faktor positif dari 507 adalah 1, 2, 13, 39, 169, 507, oleh karenanya untuk
nilai
adalah 11, 13, 23, 49, 179, atau 517.
adalah 11, 13, 23, 49, 179, atau 517.
Diambil
(kuadrat
sempurna)
sehingga
artinya
2.
Diketahui p adalah bilangan prima sehingga terdapat
pasangan bilangan bulat positif (x, y) yang memenuhi
x2 + xy = 2y2 + 30p. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (x, y) yang memenuhi adalah . . . .
x2 + xy = 2y2 + 30p. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (x, y) yang memenuhi adalah . . . .
Pembahasan
x2
+ xy = 2y2 + 30p
(x-y) (x+2y) =
30p
Misalkan
x = 3a + q 0 ≤ q < 3
y = 3b + r 0
≤ r < 3
dengan
a,b,q,r anggota bil bulat positif
x – y = 3a +
q – 3b – r = 3(a + b) + q – r
jika q = r
maka 3|x-y, jika q ≠ r maka 3†x-y
x + 2y = 3a +
q + 6b + 2r = 3(a + 2b) + q + 2r
jika q = r
maka 3|x+2y, jika q ≠ r maka 3†x+2y
karena 3|30p sehingga
q = r , artinya x – y dan x + 2y keduanya habis dibagi 3, sedangkan jika 3|x-y
dan 3|x+2y maka 9|(x-y) (x+2y).
30p pun harus
habis dibagi 9, karena 30p = 2∙3∙5∙p artinya p harus kelipatan 3 sedangkan p bil prima,
sehingga p = 3.
Persamaan di
atas menjadi
(x-y) (x+2y) =
90 ; karena x + 2y > x - y sehingga
x - y = 3 dan
x + 2y = 30 maka x = 12 dan y = 9
x - y = 6 dan
x + 2y = 15 maka x = 9 dan y = 3
jadi,
terdapat dua pasangan bilangan positif yang memenuhi, yaitu (12 , 9) dan (9 ,
3).
