Model Poincare: Titik Part.2
04.37
Jika dua lingkaran saling tegak lurus pada salah
satu titik perpotongannya maka dua lingkaran tersebut juga tegak lurus pada
titik perpotongan yang lain.
Diberikan segmen PA ⊥ segmen QA, tunjukkan bahwa segmen PB ⊥ segmen QB!
Bukti:
Pandang ∆PAQ dan ∆PBQ
|PA|=|PB| [C(P,r)=C(P,|PA|)=C(P,|PB|)]
|QA|=|QB| [C(Q,r)=C(Q,|QA|)=C(Q,|QB|)]
|PQ|=|PQ| refleksif
Berdasarkan teorema s.s.s maka ∆PAQ≅∆PBQ. Akibatnya m∠PAQ=m∠PBQ=90° dengan kalimat lain segmen PB ⊥ segmen QB.
Metode berikut dapat
digunakan dalam membuat lingkaran ortogonal dan titik pada model poincare. Dan
metode ini hanya sebagai pengayaan.
Diberikan titik
dan
pada Σ. Buat sinar PA dan PB dan garis yang tegak lurus
terhadap sinar-sinar tersebut pada titik A dan B (lihat Gambar D). Namai Q
sebagai titik perpotongan dari garis yang tegak lurus tadi. Gunakan |QA|
sebagai jari-jari dari lingkaran Q. Tunjukkan bahwa lingkaran-lingkaran
tersebut ortogonal.
Gambar D. Dua titik pada lingkaran
Diberikan sebuah titik A dan B dalam interior Σ, lukis sinar PA dan buat garis yang tegak lurus dengan sinar PA pada
titik A (lihat Gambar E). Lukis segmen AB dan lukis garis bagi tegak lurus dar
segmen AB. Misalkan Q adalah perpotongan dari kedua garis tegak lurus tersebut.
Gunakan QA aebagai jari-jari dari lingkaran Q. Tunjukkan bahwa lingkaran
tersebut ortogonal.
Gambar E. Satu Titik pada Lingkaran, Satu Titik pada Interior
Diberikan dua titik A dan B dalam interior Σ, diperlukan titik ketiga (misal
C) untuk menentukan titik pusat pada lingkaran kedua (lihat Gambar F). Salah
satu dari tiga metode berikut dapat digunakan untuk menentukan titik C.
Gambar F. Dua Titik dalam Interior
Metode 1: Berdasarkan inversi dari lingkaran (lihat
Gambar G). Posisi titik C mengakibatkan PC*PB=r².
Gambar G. Metode 1
Metode 2: Berdasarkan
sebuah segiempat lengkap (lihat Gambar H). Posisikan titik V1 seperti yang ditunjukkan pada Gambar H. Lukis sinar
LV1, LV2, dan BV1. Lukis sinar LV4 dan namai titik perpotongannya dengan sinar RV1 sebagai V4 dan dengan
BV1 sebagai V3. Lukis sinar RV3 dan namai titik perpotongannya dengan LV1 sebagai V2. Titik C yang dicari adalah titik perpotongan sinar
PB dan V4 V2.
Gambar H. Metode 2
Metode 3: Berdasarkan himpunan harmonik (lihat Gambar I).
Posisi titik C mengakibatkan
1/LB-1/LR=1/LR-1/LC
Referensi
A Course in Modern Geometries, 2nd Edition, Judith N. Cedeberg
Roads to Geometry, 2nd Edition, Edward C. Wallace, Stepben F. West
Modern Geometry, David A. Thomas
0 komentar