Geometri Hiperbolik: Segiempat Sacceri Part.2
04.30
Beberapa
teorema di atas memberikan beberapa akibat:
Akibat
1
Jumlah
sudut pada segiempat Saccheri kurang dari 360°
Akibat
2
Dua
garis tidak dapat memiliki lebih dari satu garis tegak lurus yang sama
Akibat
3
Tidak terdapat garis-garis yang memiliki jarak yang sama di
semua titik
Sebagaimana
Akibat 3 mengatakan, bahwa garis-garis tidak akan pernah memiliki jarak yang
sama di semua titik. Malahan jarak antara paralel berarah bervariasi dari
setiap titik yang ditunjukkan oleh teorema berikut.
Teorema
44h
Jarak
tegak lurus sebuah titik pada salah satu dari dua pararel berarah terhadap
garis lainnya berkurang seiring arah dari keparalelannya.
Bukti:
Misal garis n dan m paralel berarah kanan. Pilih titik P dan R
pada n (Gambar F). Konstruksi PQ dan RS tegak lurus terhap m pada P dan R
secara berurutan. (Asumsikan R berada sebelah kanan dari PQ). Maka jelas m(RS) < m(PQ). Misalkan T di
sebelah kanan R. Sekarang m∠PRS + m∠SRT = 180°, dan m∠QPR + m∠PRS < 180°, dari Akibat 1
Teorema 43h. Maka m∠QPR < m∠SRT , jadi m(PQ) = a-1
m∠QPR < a-1 m∠SRT = m(RS).
Teorema
43h masih memunculkan hasil lain yang sangat jauh berbeda dengan yang berlaku
pada geometri Euclid.
Teorema
45h
Jika
tiga sudut pada segitiga kongruen secara berurutan terhadap tiga sudut pada
segitiga lainnya, maka segitiga tersebut kongruen.
Bukti
Gambar F. Bukti 45h.
Misal ∆ABC dan ∆A’B’C’
adalah dua segitiga dengan sudut yang bersesuaian adalah kongruen. Jika satu
pasang dari garis yang bersesuain kongruen maka segitiga tersebut juga kongruen
(proposisi 26). Karenanya, asumsikan bahwa ketiga pasang sisi yang bersesuaian
tidak ada yang konruen. Secara khusus asumsikan AB≄A’B’. Selanjutnya
anggap m(AC) < m(B’C’). Lalu temukan A” pada AB sehingga A”B A’B’;
dan pada BC temukan C” sehingga BC” ≃ B’C’
(Gambar F). ∆A”BC” ≃ ∆B’C’A sesuai proposisi 4. Jadi
∠BA”C” ≃ ∠B’A’C’ dan ∠BC”A” ≃ ∠B’C’A’. Maka ∠BA”C” ≃ ∠BAC dan ∠BC”A” ≃∠BCA.
Kasus
1
C berada di antara B dan C”. Maka berdasarkan aksioma Pasch, A”C”
memotong AC pada titik D. Dan pada ∆DCC”, ∠CC”D ≃ ∠BCA tapi ∠BCA adalah sudut dalam
segitiga dan hal ini kontradiksi dengan teorema sudut luar segitiga.
Kasus
2
C”
berada di antara B dan C. Maka A”ACC” adalah segiempat dan,
m∠C”A”A + m∠A”AC + m∠ACC” + m∠CC”A”
=(180
– m∠BA”C”) + m∠A”AC + m∠ACC” + (180 - m∠BC”A”)
=180 –
m∠A”AC + m∠A”AC + m∠ACC” + 180 – m∠C”CA
=360
Ini menimbulkan
kontradiksi dengan teorema 43h. Dengan demikian
∆ABC ≃ ∆A’B’C’
Referensi
A Course in Modern Geometries, 2nd Edition, Judith N. Cedeberg
Roads to Geometry, 2nd Edition, Edward C. Wallace, Stepben F. West
Modern Geometry, David A. Thomas
0 komentar