READING STUDIO: Geometri Non-Euclid

Geometri Non-Euclid

Segiempat Sacceri: Teorema Sudut Atas

04.43

Geometri Non-Euclid

Geometri Hiperbolik: Segiempat Sacceri Part.2

04.30

Geometri Non-Euclid

Geometri Hiperbolik : Segiempat Saccheri

12.27

Geometri Hiperbolik : Segiempat Saccheri

Kali ini kita akan lebih mengenal alah satu konsep dalam geometri hiperbolik yaitu segiempat Saccheri. Boleh dibilang konsep ini adalah salah satu konsep yang mempelopori adanya geometri non-Euclid. Sepertinya postulat ke-5 dari Euclid menjadi dasar dari fenomena ini. Bahkan para ahli geometri terdahulu lebih menganggap postulat ini sebagai teorema daripada aksioma, bagaimana menurut anda?

Gambar A. Segiempat Saccheri

Disebut segiempat Saccheri karena untuk menghormati sumbangsih Gerolamo Saccheri yang telah tercatat hampir menemukan geometri non-Euclid.

Segiempat Saccheri adalah sebuah segiempat ABCD dengan dua sudut siku-siku berdekatan yaitu pada A dan B, dengan sisi AD≃DC. Sisi AB disebut sisi alas dan sisi DC disebut sisi atas.

Nanti akan kita temukan bahwa aksioma hiperbolik mengakibatkan sudut C dan D pada Gambar A bukan sudut siku-siku seperti apa yang berlaku pada geometri Euclid. Uniknya pada segiempat Saccheri ini memiliki teorema-teorema yang berlaku baik pada geometri Euclid maupun hiperbolik. Hal ini mungkin karena dalam pembuktiannya, teorema-teorema itu menggunakan empat postulat pertama Euclid dan konsep geometri hiperbolik. Tapi Wallahualam sih, mungkin banyak dari anda semua lebih memahami perihal segiempat Saccheri ini. Lets Begin ...

Teorema 41h

Garis yang menghubungkan titik tengah dari sisi alas dan sisi atas dari segiempat Saccheri adalah tegak lurus terhadap sisi alas maupun atas.

Bukti

Perhatikan ∆AED dan ∆BED

mAD=mBC [def. Segiempat Saccheri]

m∠CBE=m∠DAE [def. Segiempat Saccheri]

mBE ≃ mAE [diketahui]

∆AED ≃ ∆BED berd. s.sd.s.. Dengan demikian, mDE=mCE dan m m∠CEB=m∠DEA ...(1)

Perhatikan ∆DFE dan ∆CFE

mDF=mCF [diketahui]

mFE=mFE [refleksif]

mDE=mCE [(1)]

∆DFE ≃ ∆CFE berd s.s.s.. Dengan demikian m∠CFE=m∠DFE sedangkan

m∠CEB + m∠DEA = 180° maka m∠CEB = m∠DEA = 90°.

Dengan kalimat lain EF⊥DC di F. ...(2)

∆DFE ≃ ∆CFE juga mengakibatkan m∠CEF=m∠DEF ...(3)

Selanjutnya

m∠AEF = m∠DEA + m∠DEF

m∠BEF = m∠CEB + m∠CEF = m∠DEA + m∠DEF [(1) dan (3)]

dengan demikian m∠AEF = m∠BEF. Sedangkan

m∠AEF + m∠BEF = 180° maka m∠AEF = m∠BEF = 90°.

Dengan kalimat lain EF⊥AB di E.

∴Teorema 41h terbukti

Akibat

Sisi alas dan sisi atas dari segiempat Saccheri adalah ultraparallel

Teorema 42h

Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri adalah (1) kongruen dan (2) lancip

Teorema 43h

Jumlah dari sudut –sudut segitiga adalah kurang dari 180°

Bukti

Asumsikan ∆ABC adalah sebuah segitiga sembarang dengan alas BC. Misalkan D dan E secara berurutan adalah titik tengah dari sisi AB dan AC. Dan misalkan BF, AG, dan CH tegak lurus dengan DE dari A, B, dan C. Maka ada 3 kasus yang dapat terjadi,

Kasus 1 :

Gambar B. Kasus 1

Karena
Segmen BD ≃ segmen AD [diketahui]
∠BDF≃∠ADG [bertolakbelakang]
∠BFD≃∠AGD [diketahui]
Oleh karenanya ∠FBD≃∠GAD
Akibatnya ∆BDF≃∆ADG [sd.s.sd.]

Segmen BF ≃ segmen AD. Dengan langkah yang serupa pada ∆HCE dan ∆GAE akan diperoleh ∆HCE≃∆GAE dan segmen AG ≃ segmen CH. Oleh karenanya, segmen BF ≃ segmen CH, maka dapat kita identifikasi bahwa segiempat BFHC adalah segiempat saccheri (betul kan?). Maka dari teorema 42h, ∠FBC≃∠HCB dan keduanya sudut lancip, maka jumlah sudutnya kurang dari 180°.

Dan perhatikan

m∠FBC + m∠HCB = m∠FBD + m∠DBC + m∠HCE + m∠ECB
= m∠GAB + m∠ABC + m∠GAE + m∠ACB
= m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB [m∠GAB + m∠GAE = m∠BAC]
Hal itu memberi arti bahwa jumlah sudut dari ∆ABC kurang dari 180°

Kasus 2:

Gambar C. Kasus 2

Karena
Segmen BD ≃ segmen AG [diketahui]
∠BDF≃∠ADG [bertolakbelakang]
∠BFD≃∠AGD [diketahui]
Oleh karenanya ∠FBD≃∠GAD
Akibatnya ∆BDF≃∆ADG [sd.s.sd.]

Dengan demikian Segmen BF ≃ segmen AG. Dengan langkah serupa antara ∆CEH dan ∆AEG akan diperoleh Segmen CH ≃ segmen AG. Akibatnya Segmen BF ≃ segmen CH, dapat kita identifikasi segiempat BFHC adalah segiempat Saccheri. Berdasar pada teorema 42h, ∠FBC≃∠HCB dan keduanya sudut lancip, maka jumlah sudutnya kurang dari 180°. Dan perhatikan,

m∠FBC + m∠HCB = m∠FBC + m∠HCE + m∠ECB
= m∠FBC + m∠EAG + m∠ECB [∆CEH≃∆AEG]
= m∠FBC + m∠CAD + m∠DAG + m∠ACB [m∠ECB = m∠ACB]
= m∠FBC + m∠CAB + m∠DBF + m∠ACB [m∠DBF = m∠ABC]
= m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB [m∠FBC + m∠DBF = m∠ABC]
Hal itu memberi arti bahwa jumlah sudut dari ∆ABC kurang dari 180°

Kasus 3:

Karena
Segmen CE ≃ segmen AE [diketahui]

∠CEH≃∠AED [bertolakbelakang]
∠CHE≃∠ADE [diketahui]
Oleh karenanya ∠EAD≃∠HCE
Akibatnya ∆AED≃∆CEH [sd.s.sd.]

Dengan demikian Segmen CH ≃ segmen AD. Sedangkan kesimpulan segmen BD ≃ segmen AD terdapat dalam pemisalan, dapat kita identifikasi segiempat BDHC adalah segiempat Saccheri. Berdasar pada teorema 42h, ∠DBC≃∠HCB dan keduanya sudut lancip, maka jumlah sudutnya kurang dari 180°. Dan perhatikan,

m∠DBC + m∠HCB = m∠DBC + m∠HCE + m∠ECB
= m∠DBC + m∠EAD + m∠ECB [∆CEH≃∆AED]
= m∠ABC + m∠CAB + m∠ACB [m∠DBC = m∠ABC]
[m∠EAD = m∠CAB]
[m∠ECB = m∠ACB]
Hal itu memberi arti bahwa jumlah sudut dari ∆ABC kurang dari 180°

∴ Karena teorema terbukti pada semua kasus yang mungkin terjadi maka Teorema 43h terbukti.

Referensi

A Course in Modern Geometries, 2nd Edition, Judith N. Cedeberg

Roads to Geometry, 2nd Edition, Edward C. Wallace, Stepben F. West

Modern Geometry, David A. Thomas

Geometri Non-Euclid

Model Poincare : Titik Part. 1

10.54

Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang Hiperbolik (Poincare’s Model)

Geometri Hiperbolik: Titik

Titik dalam model bidang hiperbolik yang diajukan Poincare adalah titik yang berada di dalam lingkaran satuan, lingkaran satuan ini disebut juga piringan Poincare.

Gambar A. Titik pada Bidang Hiperbolik dan Titik Ω

Titik C dan D adalah titik dari bidang hiperbolik. Sedangkan titik A dan B adalah bukan titik dari bidang hiperbolik (lihat Gambar A). Titik A dan B dianggap sebagai titik pada ketidakberhinggaan atau vanishing point. Secara umum titik pada ketidakberhinggaan ini disebut titik omega (Ω).

Gambar B. Segitiga yang dibentuk oleh Titik Ω A, B, dan C

Definisi

Diberikan sebuah lingkaran satuan Σ pada bidang Euclid, titik dari bidang hiperbolik adalah titik interior dari Σ.

Definisi

Diberikan sebuah lingkaran dalam bidang Euclid, titik omega (Ω) dari bidang hiperbolik adalah titik yang berada pada Σ.

Definisi

Diberikan sebuah lingkaran satuan dalam bidang Euclid, garis dari bidang hiperbolik adalah ditarik busur lingkaran yang tegak lurus pada Σ dan berada pada interior Σ.

Berikut adalah metode dalam men-sketsa dan/atau meng-konstruk titik yang sesuai dengan aturan pada bidang hiperbolik. Gambar C menggambarakan dua lingkaran yang saling tegak lurus dengan titik pusat dan dan titik perpotongan dan . Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Lukis lingkaran dan sinar PA.

2. Buat sebuah garis yang tegak lurus dengan sinar PA pada titik A

3. Pilih sembarang titik Q pada garis tegak lurus tersebut (langkah 2.) sebagai pusat lingkaran kedua.

4. Gunakan QA sebagai jari-jari lingkaran kedua.

5. Buat lingkaran kedua dan tandai titik perpotongan antara kedua lingkaran (selain titik A) sebagai titik .

Gambar C. Lingkaran yang Saling Tegak Lurus

Referensi

A Course in Modern Geometries, 2nd Edition, Judith N. Cedeberg

Roads to Geometry, 2nd Edition, Edward C. Wallace, Stepben F. West

Modern Geometry, David A. Thomas

S2 UPI Bandung

Labels

Tags

Page List

Labels

About

READING STUDIO

Segiempat Sacceri: Teorema Sudut Atas

Geometri Hiperbolik: Segiempat Sacceri Part.2

Geometri Hiperbolik : Segiempat Saccheri

Model Poincare : Titik Part. 1

About me

Follow Us

Press

Labels

recent posts

Blog Archive

Popular Posts

Like us on Facebook

Flickr Images