Perihal keberadaan bilangan berawal dari sebuah
pertanyaan, “Apakah bilangan itu ada?” Pertanyaan tersebut masih sangat ringan
dibandingkan pertanyaan “Apakah Tuhan itu ada?” Namun dasar untuk menjawabnya
menjadi analog satu sama lain. Untuk menjawab pertanyaan yang berkenaan dengan
keberadaan Tuhan, kita harus menelaah pertanyaan yang diberikan, karena
“pertanyaan adalah sebagian dari jawaban”, dengan pertanyaan yang benar akan
menghasilkan jawaban yang benar pula. Kalimat pertanyaan “apakah Tuhan itu
ada?” jelas keliru, karena di dalamnya sudah terdapat jawaban. Tuhan dan ada
itu adalah sama, jika kita renungkan apa penyusun dasar dari setiap keberadaan,
maka jawabannya adalah ada itu sendiri. Sesuatu tanpa “ada” menjadi tidak ada
keberadaannya. Para ahli masih mancari hakekat dari “ada” ini, dan ketika agama
datang, menjadikan Tuhan itu “ada” dan “ada” itu Tuhan (Saputra).
Untuk menyingkap keberadaan bilangan, tidak cukup
hanya mengkaji satu cabang ilmu. Filsafat sendiri belum memuaskan dalam
menjawab keberadaan bilangan. Karena genre filsafat memberikan jawaban yang
berbeda. Platonisme menempatkan jawabannya pada gabungan antara idealisme dan
realisme. Menurut platonisme bilangan itu berada dalam suatu alam absrak dalam
pikiran (atau jiwa) dan akan terasa secara indrawi ketika manusia mampu
mengingat pengetahuan bilangan yang sudah dibawa oleh jiwa sedari dulu. Ada
juga yang berpendapat bahwa bilangan yang ada hanyalah bilangan 1, karena
jumlah sesuatu adalah banyaknya 1 yang dijumlahkan. Jika kita melihat 2 buku
maka sebenarnya kita hanya melihat 1 buku dan 1 buku, begitu juga untuk
bilangan yang lebih besar. Berlaku juga terhadap konsep ½ atau 0,5, entitas
yang sebenarnya adalah 1 yang dibagi menjadi dua bagian sama. Saya pikir
pemikiran ini lebih ke pragmatis.
Kompetensi profesional adalah seperangkat kemampuan dan keterampilan terhadap penguasaan materi pelajaran secara mendalam, utuh dan komprehensif. Asian Institut for Teacher Education mengemukakan kompetensi profesional yang harus dimiliki guru adalah sebagai berikut:
- Mengerti dan dapat menerapkan landasan kependidikan, baik filosofis maupun psikologis.
- Mengerti dan dapat menerapkan teori belajar sesuai dengan tingkat perkembangan perilaku peserta didik.
- Mempu menangani mata pelajaran atau bidang studi yang ditugaskan kepadanya.
- Mengerti dan dapat menerapkan berbagai media, fasilitas, dan sumber-sumber belajar lainnya secara efektif.
- Mampu mengorganisasikan dan melaksanakan program pembelajaran.
- Mampu melaksanakan evaluasi belajar.
- Mampu menumbuhkan kepribadian peserta didik.
Lebih
khusus lagi kompetensi profesional tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut:
1.
Menguasai
bahan meliputi:
a.
Menguasai
bahan bidang studi dan kurikulum sekolah;
b.
Menguasai
bahan pendalaman/aplikasi bidang studi.
2.
Mengelola
program pembelajaran meliputi:
a.
Merumuskan
tujuan pembelajaran;
b.
Mengenal
dan dapat menggunakan metode pembelajaran;
c.
Memilih
dan menyususn prosedur pembelajaran yang tepat;
d.
Melaksanakan
program pembelajaran secara efektif.
3.
Mengelola
kelas yang meliputi:
a.
Mengatur
tata ruang kelas untuk pembelajaran;
b.
Menciptakan
iklim pembelajaran yang kondusif.
4.
Menggunakan
media dan sumber belajar meliputi:
a.
Mengenal,
memilih, dan menggunakan media pembelajaran;
b.
Membuat
alat-alat bantu pembelajaran sederhana;
c.
Menggunakan
dan mengelola laboratorium dalam rangka pembelajaran;
d.
Mengembangkan
laboratorium;
e.
Menggunakan
perpustakaan dalam proses pembelajaran;
5.
Menguasai
landasan-landasan kependidikan
6.
Mengelola
interaksi pembelajaran.
7.
Menilai
prestasi peserta didik untuk kepentingan pendidikan dan pembelajaran.
8.
Mengenal
fungsi layanan dan bimbingan meliputi:
a.
Mengenal
fungsi progran layanan dan bimbingan;
b.
Menyelenggarakan
program layanan dan bimbingan di sekolah.
9.
Mengenal
dan menyelenggarakan administrasi sekolah, meliputi:
a.
Mengenal dan penyelenggaraan administrasi
sekolah;
b.
Menyelenggarakan
administrasi sekolah.
10.
Memahami
prinsip-prinsip dan menafsirkan hasil-hasil penelitian pendidikan guna
kepentingan pembelajaran.
11.
Memiliki
sifat-sifat yang mendorong kemajuan pendidikan.
12.
Memahami
peserta didik.
13.
Menampilkan
keteladanan dan kepemimpinan dalam proses pembelajaran.
14.
Mampu
meneliti masalah-masalah pendidikan.
15.
Mengembangkan
teori dan konsep dasar kependidikan.
16.
Merencanakan
program pendidikan.
17.
Menerapkan
berbagai keahlian bidang pendidikan.
18.
Menilai
dan menguji proses pendidikan dan pembelajaran.
19.
Menguasai,
melaksanakan, dan menilai ilmu yang menyangkut bidang studi.
20.
Melaksanakan
kurikulum yang berlaku.
21.
Membina
dan mengembangkan kurikulum di sekolah dan di luar sekolah.
22. Menilai
dan memperbaiki kurikulum sekolah sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan,
teknologi, dan kemajuan zaman.
23.
Memahami
dan melaksanakan konsep pembelajaran individual.
Setiap kali
mengajar dalam kelas atau pun private, sering anak menanyakan suatu hal yang
menurut saya memang sangat mendasar, yaitu “apa sih gunanya matematika dalam
hidup pak?” atau “matematika buat berhitung aja ya pak? Terus buat apa belajar integral?”.
Jawab dari pertanyaan ini memang gampang-gampang susah. Terutama dengan
kapasitas saya. Tapi mungkin akan mudah dijawab oleh para pendidik yang telah
merenungi pendidikan dengan baik.
Saya pribadi memang sempat mempertanyakan hal ini dalam benak saya ketika SMP dulu. Tapi walau pun belum menemukan jawabnya, saya tetap menggeluti matematika dengan sepenuh hati, mungkin ini memang masalah hati.
Menurut saya, tidak penting anak menguasai integral, logaritma, fungsi, dll. Karena penguasaan itu hanya berguna bagi anak yang nantinya bekerja menggunakan konsep-konsep itu. Saya lebih menekankan pada karakter yang terbentuk pada anak. Saya pikir matematika sangat memadai dalam melatih disiplin, kerja keras, sikap teguh dalam memecahkan masalah, kreatif, dll. Yang nantinya akan berguna dalam konteks kehidupan.
Jadi ketika anak tidak menguasai dengan baik suatu konsep, tapi anak mau untuk bekerja keras dan mengikuti pembelajaran dengan baik. Itu menjadi penilaian penting bagi kelas saya. Secara ektrem anak dengan nilai ulangan rata-rata 8 akan sama dengan anak yang nilai rata-ratanya 5 tapi mengikuti pembelajaran dengan sepenuh hati. Paling tidak nilai mereka di raport akan sama. Mungkin hal ini akan mencederai beberapa pihak, tapi saya memiliki alasan yang dapat saya pertanggung jawabkan.
Teorema Sudut Atas
Pada segiempat
Saccheri, sudut-sudut atasnya sama besar
Bukti
Gambar G.
Teorema Sudut Atas
Misal diketahui segiempat ABCD
Tarik diagonal AC dan BD sehingga terbentuk dua
segitiga, yaitu ∆ABD
dan ∆BAC
Pandang ∆ABD dan ∆BAC
m(AD) = m (BC) Definisi
m∠A
= m∠B Definisi
m(AB) = m(AB) Refleksif
Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka ∆ABD
∆BAC akibatnya m(AC) = m(BD)
Pandang ∆ACD dan ∆BDC
m(AD) = m (BC) Definisi
m(AC) = m(BD) Akibat
∆ABD
∆BAC
m(DC) = m(DC) Refleksif
Berdasarkan sisi-sisi-sisi
maka ∆ACD ≃ ∆BDC akibatnya m∠D
= m∠C
Jadi, terbukti bahwa sudut-sudut atas segiempat
Saccheri sama besar.
Jika dua lingkaran saling tegak lurus pada salah
satu titik perpotongannya maka dua lingkaran tersebut juga tegak lurus pada
titik perpotongan yang lain.
Diberikan segmen PA ⊥ segmen QA, tunjukkan bahwa segmen PB ⊥ segmen QB!
Bukti:
Pandang ∆PAQ dan ∆PBQ
|PA|=|PB| [C(P,r)=C(P,|PA|)=C(P,|PB|)]
|QA|=|QB| [C(Q,r)=C(Q,|QA|)=C(Q,|QB|)]
|PQ|=|PQ| refleksif
Berdasarkan teorema s.s.s maka ∆PAQ≅∆PBQ. Akibatnya m∠PAQ=m∠PBQ=90° dengan kalimat lain segmen PB ⊥ segmen QB.
Metode berikut dapat
digunakan dalam membuat lingkaran ortogonal dan titik pada model poincare. Dan
metode ini hanya sebagai pengayaan.
Diberikan titik
dan
pada Σ. Buat sinar PA dan PB dan garis yang tegak lurus
terhadap sinar-sinar tersebut pada titik A dan B (lihat Gambar D). Namai Q
sebagai titik perpotongan dari garis yang tegak lurus tadi. Gunakan |QA|
sebagai jari-jari dari lingkaran Q. Tunjukkan bahwa lingkaran-lingkaran
tersebut ortogonal.
Gambar D. Dua titik pada lingkaran
Diberikan sebuah titik A dan B dalam interior Σ, lukis sinar PA dan buat garis yang tegak lurus dengan sinar PA pada
titik A (lihat Gambar E). Lukis segmen AB dan lukis garis bagi tegak lurus dar
segmen AB. Misalkan Q adalah perpotongan dari kedua garis tegak lurus tersebut.
Gunakan QA aebagai jari-jari dari lingkaran Q. Tunjukkan bahwa lingkaran
tersebut ortogonal.
Gambar E. Satu Titik pada Lingkaran, Satu Titik pada Interior
Diberikan dua titik A dan B dalam interior Σ, diperlukan titik ketiga (misal
C) untuk menentukan titik pusat pada lingkaran kedua (lihat Gambar F). Salah
satu dari tiga metode berikut dapat digunakan untuk menentukan titik C.
Gambar F. Dua Titik dalam Interior
Metode 1: Berdasarkan inversi dari lingkaran (lihat
Gambar G). Posisi titik C mengakibatkan PC*PB=r².
Gambar G. Metode 1
Metode 2: Berdasarkan
sebuah segiempat lengkap (lihat Gambar H). Posisikan titik V1 seperti yang ditunjukkan pada Gambar H. Lukis sinar
LV1, LV2, dan BV1. Lukis sinar LV4 dan namai titik perpotongannya dengan sinar RV1 sebagai V4 dan dengan
BV1 sebagai V3. Lukis sinar RV3 dan namai titik perpotongannya dengan LV1 sebagai V2. Titik C yang dicari adalah titik perpotongan sinar
PB dan V4 V2.
Gambar H. Metode 2
Metode 3: Berdasarkan himpunan harmonik (lihat Gambar I).
Posisi titik C mengakibatkan
1/LB-1/LR=1/LR-1/LC
Referensi
A Course in Modern Geometries, 2nd Edition, Judith N. Cedeberg
Roads to Geometry, 2nd Edition, Edward C. Wallace, Stepben F. West
Modern Geometry, David A. Thomas
Beberapa
teorema di atas memberikan beberapa akibat:
Akibat
1
Jumlah
sudut pada segiempat Saccheri kurang dari 360°
Akibat
2
Dua
garis tidak dapat memiliki lebih dari satu garis tegak lurus yang sama
Akibat
3
Tidak terdapat garis-garis yang memiliki jarak yang sama di
semua titik
Sebagaimana
Akibat 3 mengatakan, bahwa garis-garis tidak akan pernah memiliki jarak yang
sama di semua titik. Malahan jarak antara paralel berarah bervariasi dari
setiap titik yang ditunjukkan oleh teorema berikut.
Teorema
44h
Jarak
tegak lurus sebuah titik pada salah satu dari dua pararel berarah terhadap
garis lainnya berkurang seiring arah dari keparalelannya.
Bukti:
Misal garis n dan m paralel berarah kanan. Pilih titik P dan R
pada n (Gambar F). Konstruksi PQ dan RS tegak lurus terhap m pada P dan R
secara berurutan. (Asumsikan R berada sebelah kanan dari PQ). Maka jelas m(RS) < m(PQ). Misalkan T di
sebelah kanan R. Sekarang m∠PRS + m∠SRT = 180°, dan m∠QPR + m∠PRS < 180°, dari Akibat 1
Teorema 43h. Maka m∠QPR < m∠SRT , jadi m(PQ) = a-1
m∠QPR < a-1 m∠SRT = m(RS).
Teorema
43h masih memunculkan hasil lain yang sangat jauh berbeda dengan yang berlaku
pada geometri Euclid.
Teorema
45h
Jika
tiga sudut pada segitiga kongruen secara berurutan terhadap tiga sudut pada
segitiga lainnya, maka segitiga tersebut kongruen.
Bukti
Gambar F. Bukti 45h.
Misal ∆ABC dan ∆A’B’C’
adalah dua segitiga dengan sudut yang bersesuaian adalah kongruen. Jika satu
pasang dari garis yang bersesuain kongruen maka segitiga tersebut juga kongruen
(proposisi 26). Karenanya, asumsikan bahwa ketiga pasang sisi yang bersesuaian
tidak ada yang konruen. Secara khusus asumsikan AB≄A’B’. Selanjutnya
anggap m(AC) < m(B’C’). Lalu temukan A” pada AB sehingga A”B A’B’;
dan pada BC temukan C” sehingga BC” ≃ B’C’
(Gambar F). ∆A”BC” ≃ ∆B’C’A sesuai proposisi 4. Jadi
∠BA”C” ≃ ∠B’A’C’ dan ∠BC”A” ≃ ∠B’C’A’. Maka ∠BA”C” ≃ ∠BAC dan ∠BC”A” ≃∠BCA.
Kasus
1
C berada di antara B dan C”. Maka berdasarkan aksioma Pasch, A”C”
memotong AC pada titik D. Dan pada ∆DCC”, ∠CC”D ≃ ∠BCA tapi ∠BCA adalah sudut dalam
segitiga dan hal ini kontradiksi dengan teorema sudut luar segitiga.
Kasus
2
C”
berada di antara B dan C. Maka A”ACC” adalah segiempat dan,
m∠C”A”A + m∠A”AC + m∠ACC” + m∠CC”A”
=(180
– m∠BA”C”) + m∠A”AC + m∠ACC” + (180 - m∠BC”A”)
=180 –
m∠A”AC + m∠A”AC + m∠ACC” + 180 – m∠C”CA
=360
Ini menimbulkan
kontradiksi dengan teorema 43h. Dengan demikian
∆ABC ≃ ∆A’B’C’
Referensi
A Course in Modern Geometries, 2nd Edition, Judith N. Cedeberg
Roads to Geometry, 2nd Edition, Edward C. Wallace, Stepben F. West
Modern Geometry, David A. Thomas
